Matematică 2023

Ministerul Educației Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2023 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 7 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că 1,5 + 3 ⋅ (1 − 0,5) = 3 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 5 − x . Arătați că f ( 0 ) − f (1) = 1. 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x − 8 = 1 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 3, 5, 7, 9} , acesta să verifice inegalitatea 2n ≥ 9 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,0 ) , B (1,2) și C ( 4,1) . Arătați că triunghiul ABC este isoscel. 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu aria egală cu 50 și AC = 5 . Arătați că lungimea laturii AB este egală cu 20 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x 1  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  −x 2 − x  5p a) Arătați că det ( A (1) ) = 2 . 5p b) Arătați că 3 A ( 2 ) + A ( 6 ) = 4 A ( 3) . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care A ( x ) ⋅ A ( x ) = 2 A ( x ) . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy + 2 x − y − 1 . 5p a) Arătați că 1 ∗ 1 = 1 . 5p b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 2 = x . 5p c) Arătați că (1 − x ) ∗ x ≤ 2 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 2 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + −1. ex 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( 2 ex −1 ) , x∈ℝ . x e 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Determinați numerele reale m și n , știind că dreapta d de ecuație y = mx + n este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f . 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 4 x3 + 3x . 2 5p a) Arătați că  ( f ( x ) − 3 x ) dx = 15 . 1 5 1 1 5p b) Arătați că  dx = ln 2 . 2 f ( x) − 4x + 3 3 3 5p c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției x3 + f ( x ) g : [1,2] → ℝ , g ( x ) = este egal cu 2π f ( 3) . x Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1