Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați termenul a1 al progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a3 = 6 și a4 = 9 . 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = x − 3 . Determinați numerele reale a pentru care f ( a ) = g ( a ) . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log3 ( x + 3) = 2 . 5p 4. În urma unei scumpiri cu 30% , prețul unui produs a crescut cu 60 de lei. Determinați prețul produsului după scumpire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −4,1) , B ( 2,3) și dreapta d de ecuație y = 2 x + a , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că mijlocul segmentului AB aparține dreptei d . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB = AC , BC = 12 și măsura unghiului B egală cu 45° . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 36 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) x x  1. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  1 2 x + 1 5p a) Arătați că det ( A ( 0 ) ) = 0 . 5p b) Determinați numărul real a pentru care 2 A ( 4 ) + A ( −2 ) = aA ( 2 ) . 5p c) Arătați că, dacă X ∈ M2 ( ℝ ) astfel încât X ⋅ A (1) = A ( m ) , unde m este număr întreg, atunci matricea X are toate elementele numere întregi. 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = ( x + y )( x − 1)( y − 1) + 1 . 5p a) Arătați că 2 ∗ 1 = 1 . 5p b) Arătați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă. 5p c) Determinați numerele naturale n pentru care n ∗ (1 − n ) ≥ n 2 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x+3 1. Se consideră funcția f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = + ln x . x2 x2 − x − 6 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ ( 0, +∞ ) . x3 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . x 2 1 3 5p c) Demonstrați că ln ≥ − − , pentru orice x ∈ ( 0, +∞ ) . 3 3 x x2 ex 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + + 1. 2 2 ex  5p a) Arătați că ∫  f ( x ) −  dx = 4 . 0 2  Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație 1 5 5p b) Arătați că ∫ 2 x ( f ( x ) − 1) dx = . 0 3 0 ( 3e + 1)( 3e + a ) 5p c) Determinați numărul real a pentru care ∫ ( f ( x ) − x ) ⋅ f ( x ) dx = . −1 8e 2 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2