Matematică 2022

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul național de bacalaureat 2022 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 7 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 1 5p 1. Arătați că 1 + 6 ⋅  +  = 6 .  2 3 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x − 2 . Arătați că f ( 3 ) − f ( 2 ) = 1 . 5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x + 1 = 2 . 5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , numărul 10 − n să fie par. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( a,0 ) și B ( a,6 ) , unde a este număr real. Arătați că AB = 6 , pentru orice număr real a . 5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu AB = 5 și AC = 2 AB . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 25 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  7 3 1 1  1 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  și I 2 =  .  3 1   1 − 1  0 1 5p a) Arătați că det A = −2 . 5p b) Arătați că A − 4 I 2 = 3B . 5p c) Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) pentru care X + X ⋅ B = A . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy ( x + y − 4 ) . 5p a) Arătați că 2 ∗ 3 = 6 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care 1 ∗ x = 4 . 5p c) Determinați numărul real x pentru care 2 x ∗ 2 x = 23 x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 9 x 2 + 3 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3x ( x − 6 ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f . f ' ( x ) − f ' (1) 2 5p c) Arătați că lim = . x →1 3 f ( x ) − x f '( x ) 3 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 1) e x . 2 f ( x) 5p a) Arătați că  dx = 0 . 0 ex 1 5p b) Arătați că  f ( x ) dx = 2 − e . 0 n x 1 3 5p c) Determinați numărul natural n , n > 2 , pentru care  dx = ln . 2 f ( x ) ⋅ f ( − x ) 2 8 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1