Matematică 2021

Ministerul Educaţiei Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul naţional de bacalaureat 2021 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de trei ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătaţi că (1 + 3i ) − 6i = −8 , unde i 2 = −1 . 2 5p 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + 1 și g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 3 x − 7 . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții. 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 − x = 2 x . 5p 4. Arătați că numărul de submulțimi cu două elemente ale mulțimii A = {1,2,3,4,5} este egal cu numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii A . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 2 ) , B ( −1,0 ) și C ( 0, a ) , unde a este număr real. Determinaţi numărul real a , ştiind că dreapta AB conține punctul C .  π π 5p 6. Se consideră numărul real x ∈  0,  astfel încât cos x + sin = 1 . Calculați sin x .  2 6 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 2 4  −2 −6  1. Se consideră matricele A =  , B =  și M ( x ) = A + xB , unde x este număr real.  −1 −2  1 3 5p a) Arătați că det A = 0 . 5p b) Demonstrați că M ( x ) ⋅ M (1) = x M (1) , pentru orice număr real x . 5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că M ( 4) ⋅ M (3) ⋅ M ( 2) ⋅ M (1) = nM (1) . 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ∗ y = x + y + x 2 y 2 . 5p a) Arătaţi că 1 ∗ 2 = 7 . 5p b) Demonstraţi că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziţie „ * ”. 5p c) Determinați numerele întregi x pentru care ( −2 ) ∗ x ≤ 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = e x + x 4 − 2 x + 2 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = e x + 4 x3 − 2 , x ∈ ℝ . 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că funcţia f este convexă. 1 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x − . x 3  1 5p a) Arătați că ∫  f ( x ) +  dx = 4 . 1 x 2  1 3 5p b) Arătați că ∫  f ( x ) +  ln xdx = 2ln 2 − . 1 x 4 2 1 5p c) Determinați cel mai mare număr natural nenul n pentru care ∫ x n+1 f n ( x ) dx ≥ . 1 2021 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1