Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( ) 5 1 + 2 5 − 5 = 10 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 . Arătați că f (1) = f ( 2 ) . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 x − 21 = log 5 4 . 2 ( ) 5p 4. După o scumpire cu 10% , un obiect costă 220 de lei. Determinaţi prețul inițial al obiectului. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,8 ) şi B ( 0, 4 ) . Știind că punctul M este mijlocul segmentului AB , determinați coordonatele punctului M . 5p 6. În triunghiul ABC , m ( ∢B ) = m ( ∢C ) = 60° . Calculați cosinusul unghiului A . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 6  1 2 0 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  și O2 =  .  −1 −4   2 4 0 0 5p a) Arătați că det A = 2 . 5p b) Arătați că B ⋅ A + B = O2 . 5p c) Determinați numerele naturale n pentru care det ( B + nA ) = det B + n det A . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = x + 2 y + 1 . 5p a) Arătaţi că 1 ( −1) = 0 .  1 5p b) Demonstrați că x  −  = x , pentru orice număr real x .  2 5p c) Arătați că legea de compoziție „ ” nu admite element neutru. SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + 2 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 1 −2 x 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ( ) 2 x2 + 1 5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f . 5 ( ) 5p c) Demonstrați că f ( x ) + ln x 2 + 1 < , pentru orice x ∈ [ 0,1] . 2 ex 2. Se consideră funcţia f : ( −1, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = . x +1 2 5p a) Arătați că ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = e − 1 . 2 0 1 f '( x ) 5p b) Arătați că ∫ dx = 1 − ln 2 . 0 f ( x) 1 1 5p c) Arătați că ∫ f ( x ) dx + ∫ e ln ( x + 1) dx = e ln 2 . x 0 0 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1