Matematică 2020

Ministerul Educaţiei și Cercetării Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( ) 3 2 3 +1 − 3 = 6 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = x 2 − 4 x + 2 . Determinați numerele reale a pentru care f (a) = 2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x − 1 = 3 . 5p 4. După o ieftinire cu 10% , un obiect costă 180 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4,1) , B ( −4,1) şi C ( 0, 4 ) . Determinaţi lungimea înălțimii din vârful C în triunghiul ABC . 1 5p 6. Arătați că 3 ⋅ sin 60° − 2 ⋅ cos 45° = . 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 3 1 0 1. Se consideră matricele A =   și I 2 =  . 0 2 0 1 5p a) Arătați că det A = 2 . 5p b) Arătați că 3 A − A ⋅ A = 2 I 2 . 5p c) Determinați numărul real x pentru care ( xA − I 2 )( xA − I 2 ) = 5 A − I 2 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = x 2 + ( x + 1)( y + 1) + y 2 . 5p a) Arătaţi că 3 ( −1) = 10 . 5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ” este comutativă. 5p c) Demonstrați că x 1 ≥ 2 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = ( x − 1) ln x . 1 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 1 − + ln x , x ∈ ( 0, +∞ ) . x 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că funcția f este descrescătoare pe intervalul ( 0,1] . x 2 2. Se consideră funcția f : R → ℝ , f ( x ) = 1 + 2 − 2 . x +1 x +1 1 ( ) 1 5p a) Arătați că ∫ x + 1 f ( x ) dx = − . 2 6 0 5p b) Determinaţi primitiva F a funcției f pentru care F ( 0 ) = 0 . 2   1  5 5p c) Arătați că ∫  f ( x ) + f    dx = ln . 1  x  2 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1