Matematică 2019

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2019 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Clasa a XII-a Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) ( ) − 20 = 6 . 2 5p 1. Arătaţi că 1 + 5 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . Calculaţi distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei f cu axa Ox . 5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4 x ⋅ 8 x +1 = 162 x . 5p 4. Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 15 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A ( a , a + 1) , unde a este număr real. Determinaţi numărul real a , ştiind că punctul A se află pe dreapta de ecuaţie y = 2 x − 1 . 5p 6. Demonstraţi că ( 2sin x + 3cos x )2 + ( 3sin x − 2cos x )2 = 13 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  x x − 1 1. Se consideră matricea A ( x ) =  , unde x este număr real.  x −1 x  5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 3 . 5p b) Demonstrați că A ( x ) ⋅ A ( y ) = A ( 2 xy − x − y + 1) , pentru orice numere reale x și y . 1 5p c) Determinaţi numărul real a , ştiind că A (a) = A( x) ⋅ A   ⋅ A( y) , pentru orice numere reale x și y .  2 xy 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x ∗ y = x + y − . 4 5p a) Arătaţi că 6 ∗ 2 = 5 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ ( 4 x ) = 6 . 5p c) Calculaţi 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗… ∗ 2019 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x−3 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 3 + . ex 4−x 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x ∈ℝ . ex 5p b) Arătaţi că funcţia f este convexă pe [5, +∞ ) . 5p c) Demonstraţi că x − 3 ≤ e x − 4 , pentru orice număr real x . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 6 x 2 + 4 x + 1 . 1 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) dx = 5 . 0 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ . a f (x) 5p c) Determinați numărul real a , a > 1 , pentru care ∫ dx = 13 + ln a . 1 x Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1