Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 3 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că ( 3 2− 2 + 2) ( 3 − 6) = 0 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 . Determinaţi numerele reale a , știind că f ( a ) = a . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 27 x −5 = 4 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5} , acesta să verifice relaţia 2 n ≤ 16 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (1,2 ) , N ( 4,3) şi P ( 6,1) . Determinaţi lungimea segmentului MQ , unde Q este mijlocul segmentului NP . 5p 6. Arătați că sin 30° + sin 45° − cos 60° − cos 45° = 0 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 0  x 1 1. Se consideră matricele I 2 =   şi A ( x ) =   , unde x este număr real.  0 1  −1 2  5p a) Arătați că det ( A ( 2 ) ) = 5 . 5p b) Determinați numerele reale x și y pentru care A ( x ) ⋅ A ( y ) = 3I 2 . 5p c) Determinați numărul întreg p pentru care det ( A ( p ) ⋅ A ( p ) + I 2 ) = 5 . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − ( x + y ) + 2 . 5p a) Arătaţi că 2 ∗ 2 = 2 . 5p b) Demonstrați că x ∗ y = ( x − 1)( y − 1) + 1 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Calculați 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ … ∗ 2018 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x2 + x + 1 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x2 + 2 x + 2 x ( x + 2) 5p a) Arătați că f ' ( x ) = , x∈ℝ . ( x + 2x + 2) 2 2 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = −1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstrați că 1 ≤ f ( x ) + f ( y ) ≤ 3 , pentru orice numere reale x și y . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = x3 − 6 x 2 + 12 x + 5 . 1 ( 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) − x dx = 9 . 3 ) 0 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este o funcție convexă pe ℝ . π 4 3 5p c) Arătați că ∫ dx = . 2 f ' ( x ) + 12 8 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1