Matematică 2018

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2018 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 2 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1  5p 1. Arătați că 30 ⋅  − 0,3  = 1 . 3  5p 2. Se consideră x1 și x2 soluțiile ecuației x 2 − x + a = 0 , unde a este număr real. Determinați valorile reale ale lui a pentru care x1 x2 − 1 < 0 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x +1 = 9 x . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu 3 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A( −1, −1) şi B ( 4,4 ) . Demonstraţi că punctele A, O şi B sunt coliniare. 5p 6. Demonstraţi că ( sin x + cos x )2 − sin 2 x = 1 , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 −5   6 5 1 0 1. Se consideră matricele A =  , B=  și I 2 =  . 2 6   −2 1  0 1 5p a) Arătați că det A = 16 . 5p b) Determinaţi numărul real a pentru care A ⋅ B = aI 2 .  1  5p c) Demonstrați că det  xA + B  ≥ 49 , pentru orice număr real nenul x .  x  2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x y = 5 xy + 15 ( x + y) + 42 . 5p a) Arătaţi că ( −2 ) ( −2 ) = 2 . 5p b) Demonstrați că x y = 5 ( x + 3)( y + 3) − 3 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( x − 3) ( x − 3) ( x − 3) = 197 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = ( x − 2 ) e x . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = ( x − 1) e , x ∈ ℝ . x 5p b) Arătați că xlim f ( x) = 0 . →−∞ 5p c) Demonstrați că −e ≤ f ( x ) ≤ 0 , pentru orice x ∈ ( −∞,2] . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = 3x 2 + 1 . 1 5p a) Arătaţi că ∫ ( f ( x ) − 1) dx = 2 . −1 5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ . e 5p c) Calculați ∫ f ( x ) ln x dx . 1 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1