Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 7 5p 1. Arătați că  2 +  : = 2 .  3 6 5p 2. Arătați că ( x1 + x2 ) − 6 x1 x2 = 1 , unde x1 și x2 sunt soluțiile ecuației x − 5 x + 4 = 0 . 2 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x − 5 = 2 . 5p 4. După o ieftinire cu 25% , preţul unui televizor este 600 de lei. Determinați preţul televizorului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0, 0 ) şi M ( 8, 6 ) . Calculaţi distanța dintre punctele O și M . 5p 6. Arătați că sin 2 135° + sin 2 45° = 1 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  −1 −2  1. Se consideră matricele A =   și B =  . 0 2 2 0 5p a) Arătați că det A = 2 . 0 0  5p b) Arătați că ( A + B )( B − A ) =  .  0 −12  5p c) Determinați matricea X ∈ M2 ( ℝ ) , știind că A ⋅ X = B . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = x + y − 3 . 5p a) Arătaţi că 1 ∗ 2 = 0 . 5p b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = −1 . 2 ( ) 5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care n ∗ n ∗ n ∗ n < 3 . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 + 2 x 2 + x . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = ( x + 1)( 3 x + 1) , x ∈ ℝ . f ( x) 1 5p b) Arătați că lim = . x →+∞ x f ' ( x ) 3 4 5p c) Demonstrați că f ( x ) ≥ − , pentru orice x ∈ [ −1, +∞ ) . 27 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = x 2 + x + 1 . 1 ( 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) − x − 1 dx = 2 ) 1 2 . 0 1 1 5p b) Demonstrați că funcţia F : R → ℝ , F ( x ) = x3 + x 2 + x + 2017 este o primitivă a funcţiei f . 3 2 5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa 7 Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 și x = 2 are aria egală cu n 2 − . 3 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1