Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Clasa a XI-a Simulare Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculați rația progresiei aritmetice ( an )n≥1 , știind că a 1 = a 3 − 6 . 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x + m , unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care punctul A (1,3) este situat pe graficul funcției f . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 3x+ 2 = 10 . 5p 4. După o ieftinire cu 15% , prețul unui stilou este de 17 lei. Calculați prețul stiloului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = − x + 3 . Determinați numărul real a , știind că dreapta d ' de ecuație y = ax − 5 este perpendiculară pe dreapta d . 3 5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , știind că m ( ∢A ) = 90° , tg B = şi AC = 15 . 4 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 3 1 2 1. Se consideră determinantul D ( a ) = a + 1 a 2 , unde a este număr real. 1 3 2 5p a) Arătați că D ( 0 ) = −12 . 5p b) Determinați numerele reale a pentru care D ( a ) = a 2 . 5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3,1) , B ( n + 1, n ) , unde n este număr natural și C (1,3) . Determinați numerele naturale n , știind că punctele A , B și C sunt vârfurile unui triunghi care are aria egală cu 1.  −1 x  2. Se consideră matricea A ( x ) =   , unde x este număr real.  2 x − 3 5p a) Arătați că A ( 0 ) + A ( 2 ) = 2 A (1) . 0 0 5p b) Demonstrați că A (1) ⋅ A ( x ) + 3 A (1) = O2 , pentru orice număr real x , unde O2 =  . 0 0 5p c) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea B = I 2 + aA (1) este inversabilă, unde 1 0 I2 =  . 0 1 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) x+5 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = . x +x+2 2 5p a) Arătați că lim f ( x ) = 2 . x → −1 5p b) Calculaţi lim ( ( 2 x − 1) f ( x ) ) . x → +∞ 5p c) Determinaţi ecuația asimptotei spre +∞ la graficul funcţiei f . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 2  Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare  x3 + 1, x ∈ ( −∞,0] 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) =  .  3 x + 1, x ∈ ( 0, +∞ ) 5p a) Arătați că f ( −2 ) ⋅ f ( 5 ) = −28 . 5p b) Demonstrați că funcția f este continuă în punctul x = 0 . 5p c) Arătați că, dacă p și q sunt numere reale astfel încât ( p + 1) ⋅ ( q + 1) < 0 , atunci f ( p ) ⋅ f ( q ) < 0 . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 2 din 2