Matematică 2017

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2017 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 1 5 5p 1. Arătați că  +  : = 1 .  2 3 6 5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f ( x ) = 2 x + 3 . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy . 2 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia lg x + 5 = lg9 . ( ) 5p 4. După o ieftinire cu 10% , preţul unui obiect este 270 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 3,1) şi B ( 3,5 ) . Calculați distanța de la punctul O ( 0, 0 ) la mijlocul segmentului AB . π 5p 6. Dacă x ∈  0,  și cos x = 2 , arătați că tg x = 1 .  2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 2  8 4 1 0 1. Se consideră matricele A =  , B =  şi I 2 =  0 1  .  4 8   2 1    5p a) Calculați det A . 5p b) Arătați că 9 ( A + B ) − ( A ⋅ B + B ⋅ A ) = 45I 2 . 5p c) Determinați numerele reale x , pentru care det ( A + xI 2 ) = 0 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 6 X + 8 . 5p a) Arătați că f ( 2 ) = −8 . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X −1 . 5p c) Demonstrați că ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 + ( x3 + 1)2 = 30 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x − 9 x + 12 x + 1 . 3 2 5p a) Arătați că f ′ ( x ) = 6 ( x − 1)( x − 2 ) , x ∈ ℝ . 2 x3 − f ( x ) 5p b) Calculați lim . x →+∞ f '( x ) 5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 2. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 2 x . 1 2 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) + 2 x ) dx = . −1 3 1 5p b) Calculați ∫ e x ( x2 − f ( x )) dx . 0 5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 2 x = 0 şi x = 1 are aria egală cu . 3 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1