Matematică 2016

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2016 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1  1  1  1 5p 1. Arătați că 1 − 1 − 1 −  = .  2  3  4  4 5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 cu axa Ox . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia log5 ( 2 x − 1) = 2 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {10, 20,30, 40,50,60,70,80,90} , acesta să fie divizor al lui 1000 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) , A ( 0,3) şi B ( 4,0 ) . Calculați perimetrul triunghiului AOB . 3  π 4 5p 6. Arătați că sin x = , știind că x ∈  0,  și cos x = . 5  2 5 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  −1 1  1 0 1. Se consideră matricele A =   și I 2 =  .  0 0 0 1 5p a) Arătați că det A = 0 . 0 0 5p b) Verificați dacă A ⋅ ( A + I 2 ) = O2 , unde O2 =  . 0 0 5p c) Determinați numerele reale m pentru care det B = 0 , unde B = A ⋅ A + mI 2 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + 4 X + 4 . 5p a) Arătați că f ( −1) = 0 . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 3 X + 2 . 1 1 1 1 1 1 3 5p c) Demonstrați că + + + + + = − , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 4 polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 12 x . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3 ( x − 2 )( x + 2 ) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Arătați că −16 ≤ f ( x ) ≤ 16 , pentru orice x ∈ [ −2,2] . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = 5 x 4 + 3 x 2 + 1 . 1 ( ) 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) − 3x − 1 dx = 1 . 2 0 5p b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2 . 5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1