Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 3 5p 1. Arătați că  2 −  : = 5 .  2  10 5p 2. Calculați f ( −2 ) + f ( 2 ) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 − 4 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 x − 1 = 3 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , acesta să fie multiplu de 5. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O ( 0,0 ) , M ( 0, 4 ) şi N ( 4,0 ) . Arătați că triunghiul MON este isoscel. 5p 6. Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că AB = 10 și AC = 12 . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  3 −2  1 0 1. Se consideră matricele A =   și I 2 =  0 1  .  5 −3    5p a) Arătați că det A = 1 . 0 0 5p b) Arătați că A ⋅ A + I 2 = O2 , unde O2 =  . 0 0 5p c) Demonstrați că det ( A − aI 2 ) ≥ 1 , pentru orice număr real a . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 5 X 2 + X + 5 . 5p a) Arătați că f ( −5 ) = 0 . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 6 X + 5 . x3 x x 23 5p c) Demonstrați că + 2 + 1 = − , unde x1 , x2 şi x3 sunt rădăcinile polinomului f . x1 x2 x1 x3 x2 x3 5 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 4 x ( x − 1)( x + 1) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcţiei f . 5p c) Demonstrați că 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 , pentru orice x ∈ [ −1,1] . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = x 2 + x . 3 ( 5p a) Arătați că ∫ f ( x ) − x dx = ) 26 3 . 1 x3 2 x x 5p b) Demonstrați că funcția F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = + + 2015 este o primitivă a funcției f . 3 3 5p c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției g : ( 0,+∞ ) → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − x e x , axa ( ) Ox și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2 , are aria egală cu e ( 2e − 1) . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1