Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 8 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)  1 1  20 = 2 . 5p 1. Arătați că  +  ⋅ 2 5 7 5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul A ( a, 0 ) aparține graficului funcţiei f : ℝ → ℝ , f ( x) = x − 2 . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x + 3 = 4 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {10, 20,30, 40,50,60,70, 80,90} , acesta să fie multiplu de 15. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( 4, 2 ) şi B ( 4,6 ) . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB . 12  π 5 5p 6. Arătați că sin x = , știind că x ∈  0,  și cos x = . 13  2 13 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1 2  4 3 1 1 1. Se consideră matricele A =  , B =  și C =  1 1  . 3 4  2 1   5p a) Arătați că det A = −2 . 5p b) Arătați că A + B = 5C . 1 0 5p c) Demonstrați că AB + BA + 4 I 2 = 25C , unde I 2 =  0 1  .   2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x y = xy + 4 x + 4 y + 12 . 5p a) Arătați că 5 ( −4 ) = −4 . 5p b) Arătați că x y = ( x + 4 )( y + 4 ) − 4 , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x = x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x3 + 3 x 2 + 5 . 5p a) Arătaţi că f ' ( x ) = 6 x ( x + 1) , x ∈ ℝ . f '( x ) 5p b) Calculați lim . x →+∞ f ( x ) − 2 x3 5p c) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției f . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = 4 x3 + 3 x 2 . 2 ( 5p a) Arătaţi că ∫ f ( x ) − 3 x dx = 15 . 2 ) 1 5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 2015 . n f ( x) 5p c) Determinaţi numărul natural n , n > 1 , ştiind că ∫ dx = 9 . 1 x2 Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1