Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1 5p 1. Arătați că : 0,5 − 1 = 0 . 2 5p 2. Calculați f ( −1) + f ( 0 ) + f (1) , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 + x . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x + 1 = 5 . 5p 4. Un obiect costă 150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30% . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1,5 ) şi B ( 3,5 ) . Determinaţi distanța de la punctul A la punctul B . 5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că AC = 5 și m ( ∢B ) = 45° . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  −2 2  1 0 1. Se consideră matricele M =   și I 2 =  .  −1 −1 0 1 5p a) Arătați că det M = 4 . 0 0 5p b) Arătați că M ⋅ M + 3M + 4 I 2 = O2 , unde O2 =  . 0 0 5p c) Determinaţi numerele reale a și b astfel încât M ⋅ M ⋅ M = aM + bI 2 . 2. Se consideră polinomul f = X 3 − 5 X 2 + 5 X − 1 . 5p a) Arătați că f (1) = 0 . 5p b) Arătați că f ( a ) + f ( −a ) + 2 ≤ 0 , pentru orice număr real a . 5p c) Demonstrați că x12 + x22 + x32 = 15 x1 x2 x3 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = 2 x3 − 6 x + 1 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 6 ( x − 1)( x + 1) , x ∈ ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x = 1 , situat pe graficul funcției f . 5p c) Demonstraţi că f ( 2012 ) + f ( 2014 ) ≤ f ( 2013) + f ( 2015 ) . 2. Se consideră funcţia f : R → ℝ , f ( x ) = x 2 − 4 . 1 5p a) Arătați că ∫ ( f ( x ) + 4 ) dx = . 1 0 3 5p b) Determinați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei g : ℝ → ℝ , g ( x ) = 1 , axa f ( x) + 5 Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 . a f ( x) + 4 5p c) Determinaţi numărul real a , a > 1 , pentru care ∫ dx = 12 . 1 x Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1