Matematică 2015

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2015 Proba E. c) Matematică M_tehnologic Varianta 3 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Arătați că media geometrică a numerelor a = 16 și b = 9 este egală cu 12. 5p 2. Determinaţi numărul real m pentru care f ( 2 ) = 0 , unde f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x + m . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 32 x+1 = 35 . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , acesta să fie multiplu de 2. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A ( −1,3) şi B (5,3) . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB . 1  π 3 5p 6. Arătați că sin x = , știind că x ∈  0,  și cos x = . 2  2 2 SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)  1 3  −4 0  x 1 1. Se consideră matricele A =  , B =  şi C ( x ) =   , unde x este număr real.  2 1  0 4  2 3 5p a) Arătați că det A = −5 . 5p b) Arătați că det ( A + C ( −1) ) = det B . 5p c) Determinați numărul real x pentru care C ( x ) ⋅ A − A ⋅ C ( x ) = B . 2. Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 − 6 X + 3 . 5p a) Arătați că f (1) = 0 . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X 2 + 3 X − 3 . 1 1 1 5p c) Demonstrați că x1 + x2 + x3 + + + = 0 , unde x1 , x2 și x3 sunt rădăcinile polinomului f . x1 x2 x3 SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x3 − 3 x + 1 . 5p a) Arătați că f ' ( x ) = 3 ( x − 1)( x + 1) , x ∈ ℝ . f ( x ) − x3 5p b) Calculați lim . x →+∞ x 5p c) Arătați că −1 ≤ f ( x ) ≤ 3 , pentru orice x ∈ [ −1,1] . 2. Se consideră funcţia f : ( 0, +∞ ) → ℝ , f ( x ) = 2 x + 1 . x 3  1 5p a) Arătaţi că ∫  f ( x ) −  dx = 5 . 2 x 5p b) Demonstrați că funcția F : ( 0, +∞ ) → ℝ , F ( x ) = x 2 + ln x + 2015 este o primitivă a funcției f . 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [1, 2] → ℝ , g ( x ) = f ( x ) − 2 x . Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale Pagina 1 din 1